On the First Vafa-witten Bound for Two-dimensional Tori

— In this paper we explicitly compute the first Vafa-Witten bound for a two-dimensional torus, namely the best uniform upper bound for the first eigenvalue of the family of twisted (by arbitrary vector potentials) Dirac operators on a flat two-torus. Starting with an arbitrary flat metric we give either an exact answer or a precise algorithm for producing an answer. As a by-product we develop a constructive way of implementing the projection map from the Poincaré upper half-plane onto the standard fundamental domain for its SL(2,Z)-action. Résumé (Sur la première borne de Vafa-Witten pour les tores de dimension deux) Dans cet article nous calculons explicitement la première borne de Vafa-Witten pour un tore de dimension 2, c’est-à-dire la meilleure borne supérieure pour la première valeur propre de la famille d’opérateurs de Dirac couplés à des potentiels vectoriels arbitraires, définis sur un tore plat de dimension 2. Pour une métrique plate arbitraire nous donnons soit la solution exacte de ce problème soit un algorithme précis pour en produire une. Une conséquence de nos résultats est une réalisation constructive de la projection du demi-plan de Poincaré sur le domaine fondamental de l’action de SL(2,Z) sur celui-ci.